碎形簡介
碎形(Fractal)通常被定義為一個零碎的幾何形狀，可以分成數個部分，且每一部分都近似地是整體縮小後的形狀，即具有自相似的性質。
1975年由數學家本華·曼德博(Benoit Mandelbrot) 在「英國的海岸線有多長？」這篇論文中提出。此後，碎形幾何，與混沌理論，複雜性科學共同匯合，試圖解釋過去科學家們所忽略的非線性現象。碎形幾何與非線性動力學有著密不可分的關係，用以解釋除了物理、化學之外的生理學、經濟學、社會學、氣象學、天文學、土力學、地震學和技術分析等複雜結構。
自然界裡一定程度上類似碎形的事物，有雲、山脈、閃電、海岸線、雪片、植物根、多種蔬菜（如花椰菜和西蘭花）和動物的毛皮的圖案等。但是，並不是所有自相似的東西都是碎形，如實直線雖然在形式上是自相似的，但卻不符合碎形的其他特質，比如說它能被傳統的歐氏幾何語言所描述。
碎形的圖像可以用碎形生成軟體作出。儘管用此類軟體生成的圖像並不具備上述碎形的特徵，比如說存在放大後無上述特徵的局部區域，但是這些圖像通常仍然被稱為碎形。而且這些圖像可能含有由計算或顯示造成的人為偏差——一些不屬於碎形的特徵。
碎形的特徵
- 在任意小的尺度上都能有精細的結構；
- 碎形具有尺度無關性：對於「同一個」碎形結構，以不同大小的量尺來量度「可觀察的區域」，碎形會具有一致的碎形維度。例如，如果我們不同程度地放大或縮小 Mandelbrot Set，我們會發現圖形的複雜度，或摺疊程度，或粗糙程度並未因此而改變。也就是說，碎形是觀察手段的相對結果，數據結果是依觀察者與其對象而改變。
- 碎形代表有限區域的無限結構：例如，科赫的雪花曲線，是一條無限長，而結構不斷重複的線段，被限制在最初三角形的正圓區域內。例如，原本是一固定線段的 Cantor Set，最後變成一系列數量無窮，但總長度卻為零的點集合。
- 因其過於不規則以至無論是其整體或局部都難以用傳統歐氏幾何的語言來描述；
- 碎形具有分數維度：不同於整數維度的一維線段，二維矩形，碎形所具有的維度是分數的，例如無窮擴張三分之四的卡區曲線，其維度是 1.2618...。
- 在多數情況下有著簡單的遞迴定義。
- 碎形具有自我模仿性：對於「同一個」碎形結構，自我模仿就是尺度一層一層縮小的結構重複性，它們不僅在越來越小的尺度裡重複細節，而且是以某種固定的方式將細節縮小尺寸，造成某種循環重現的複雜現象。
- 碎形隱含一種整體性：我們可以從某一尺度的碎形，來推知另一尺度的「同一個」碎形的大致樣子，這意味著一種整體性，小細節的傾向可以透露大細節的傾向，大細節的絲毫改變可以令所有小細節全面改觀，再造成整個碎形圖形的變化。
碎形舉例
科赫曲線(Koch Curve)
科赫曲線是一種碎形。其形態似雪花，又稱雪花曲線。每條科赫曲線的長度是無限大，它是連續而無處可微的曲線。另外，科赫雪花是以等邊三角形三邊生成的科赫曲線組成。
- 豪斯多夫維度：$\frac{log4}{log3}$。
- 生成步驟：
- 將線段分成三等份（AC, CD, DB）
- 以CD為底，向外畫一個等邊三角形DMC
- 將線段CD移去
- 分別對AC,CM,MD,DB重複1~3。
史賓斯基地毯 (Sierpinski Carpet)
這一個例子是由波蘭數學家史賓斯基 (Waclaw Sierpinski, 1882-1969)所發現的。
- 豪斯多夫維度： $\frac{log8}{log3} = 1.89$
- 生成步驟：
- 把正方形分成$3×3=9$等份，拿掉正中央的正方形;
- 把剩下的$8$個又各自分成$3×3=9$等份，再拿掉各自正中央的正方形，依此重複進行
碎形的維度計算
- 定義：如果把一個$d$維「超立體」的尺度變成$a$倍時,需要$c =a^d$個複製品，那麼$d =\frac{logc}{loga}$，這個「超立體」當然就是一個碎形，而這個$d$就是所求的碎形維度。
- 解說舉例：
- 若取一條繩子，需要$2$個複製品才能加倍這個繩子的尺度大小，使之自相似，則$2 =2^1$，$d = 1$。
- 若取一個正方形紙片，將需要$4$個複製品才能加倍這個正方形的尺度大小，使之自相似，則$4 =2^2$，$d = 2$。
- 若給一個正立方體的起司，則需要$8$個複製品才能加倍尺度，使之自相似，也就是$8 =2^3$，$d = 3$。
- 給定一個物體，如果把它的$3$個複製品黏在一起，尺度大小會加倍，使之自相似，則$3 = 2^d$ ，這個物體的維度就等於$d = \frac{log3}{log2} = 1.44427...$
- 令史賓斯基地毯是$S$，則把$8$個$S$黏在一起或拼排起來，尺度大小會成為原$S$的三倍，使之自相似，則 $8 = 3^d$，這個物體的維度就等於$d = \frac{log8}{log3} = 1.89...$
Reference
碎形維度怎麼算 - 洪萬生
wiki - 科赫曲線
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