Formal Language - Ch10 變種圖靈機 Variants of Turing Machines

多帶圖靈機 (k-tape Turing machine)
多帶圖靈機和圖靈機類似，唯一的不同在於它可以有 $k\ (>1)$ 條紙帶，每條紙帶上都有一個讀寫頭。

• 其狀態轉移函數 $\delta$ 修改為：$\delta : Q\times\Gamma^k \to Q \times \Gamma^k \times \{L, R\}^k$ 此處 $k$ 是紙帶的數目。
• 表達式 $\delta(q, x_1, x_2, \ldots, x_k) = (q', x'_1, x'_2, \ldots, x'_k, m_1, m_2, \ldots, m_k)$，其中 $m_i = L$ 或 $R$。

多帶圖靈機與單帶圖靈機的等價
對於任意一個多帶圖靈機 $M$ ，存在一個單帶圖靈機 $M'$ ，滿足 $L(M) = L(M')$。

單帶圖靈機轉多帶圖靈機：顯然成立，改一下型別即可。
多帶圖靈機轉單帶圖靈機：改寫方式如下

符號定義

• $\#$：分開不同紙帶的符號
• $X^*$：符號上的點代表磁頭位置
• $U$：代表「空」
• 初始值：$\#W_1W_2W_3W_4...W_n\#U^*\#U^*\#U^*\#...\#$

多帶圖靈機的一次轉移轉成單帶圖靈機的以下步驟

• 掃第一遍看磁頭位置
• 再掃一遍用轉移函式轉換 (如果虛擬磁頭移到#上就補上Ｕ*然後全部右移)

[用心去感覺] 多紙帶圖靈機推導可得到的結論

1. 一端無限的紙帶等價於兩端無限的紙帶（單紙帶等於雙紙帶）
2. 計算能力：圖靈機 Turing machines > 下推自動機 PDAs > 有限狀態機 DFAs

非決定性圖靈機 (Nondeterministic Turing Machines)

如果不加特殊說明，通常所說的圖靈機都是決定型圖靈機。非決定型圖靈機和決定型圖靈機的不同之處在於，在計算的每一時刻，根據當前狀態和讀寫頭所讀的符號，機器存在多種狀態轉移方案，機器將任意地選擇其中一種方案繼續運作，直到最後停機為止。

具體而言，其狀態轉移函數為 $\delta: Q \times \Gamma \to 2^{Q \times \Gamma \times \{L, R\}}$，其中$Q$是狀態集合，$\Gamma$是帶字母表，$L, R$分別表示讀寫頭向左和向右移動；符號 $2^{A}$ 表示集合$A$的冪集。

例如，設非決定型圖靈機M的當前狀態為q，當前讀寫頭所讀的符號為x，若 $\delta(q,x) = \{ (q_1, x_1, d_1), (q_2, x_2, d_2), \ldots , (q_k, x_k, d_k)\}$ 則M將任意地選擇一個 $(q_i, x_i, d_i)$ ，按其進行操作，然後進入下一步計算。

非決定型圖靈機 $M$ 在輸入串 $\omega$ 上的計算過程可以表示為一棵樹，不同的分支對應著每一步計算的不同的可能性。只要有任意一個分支進入接受狀態，則稱 $M$ 接受 $\omega$ ；只要有任意一個分支進入拒絕狀態，則稱 $M$ 拒絕 $\omega$ ；某些分支可能永遠無法停機，但只要有一個分支可以進入接受或拒絕狀態，我們就說 $M$ 在輸入 $\omega$ 上可停機。注意，我們規定 $M$ 必須是無矛盾的，即它不能有某個分支接受 $\omega$ 而同時另一個分支拒絕$\omega$，這樣有矛盾的非決定型圖靈機是不合法的。

如果語言 $L$ 被非決定型圖靈機 $M$ 在多項式時間內接受，則一定存在多項式 $P$ 使得語言$L$ 被時間複雜度為 $O(2^{P(n)})$ 的決定型圖靈機程序所接受。這個定理說明了為什麼在證明 $P = NP$ 之前，所有的 $NPC$ 問題都只有指數時間複雜度算法。

決定性圖靈機與非決定性圖靈機的等價

對於任意一個非決定型圖靈機$M$，存在一個決定型圖靈機$M'$，使得它們的語言相等，即$L(M) = L(M')$。

決定性圖靈機轉非決定性圖靈機：顯然成立，改一下型別即可。
非決定性圖靈機轉決定性圖靈機：改寫方式如下

因為非決定型圖靈機的計算過程就是一棵樹，因此我們只需遍歷該樹就可以模擬其計算過程。採用疊代加深搜索(Iterative deepening search, IDS)遍歷 $M$ 的計算樹。具體證明如下：

對於非決定型圖靈機 $M$ ，構造一個決定型圖靈機 $M'$ 如下：

1. 令 $k= 1$；
2. 深度優先地模擬 $M$ 的每個分支的計算，但每個分支最多只計算 $k$ 步，如果某個計算分支在 $k$ 步內可以停機，則 $M'$ 也停機，並將該計算分支的計算結果輸出。
3. 令 $k$ 增加 $1$，跳轉到上一步繼續執行。

顯然，若 $M$ 有某個分支可以停機，則此 $M'$ 也一定會找到該分支並停機。因此 $L(M) = L(M')$。

枚舉機 (Enumerators)
枚舉機不吃字串，只吐字串，且會一直吐字串直到吐出我們想要的字串，當吐出想要字串的時候就是圖靈機的接受狀態。設 $S ⊆ Σ*$ 為一個語言，$E$ 是一個枚舉器， 若 $L(E) = S$，則稱 $E$ 枚舉了語言 $S$。若存在這樣的 $E$，$S$ 就稱為遞歸可枚舉語言。

遞歸可枚舉語言和圖靈可識別語言的等價
對於任意一個圖靈機$M$，存在一個枚舉機$E$，使得它們的語言相等，即$L(M) = L(E)$。

圖靈機轉枚舉機：
若有枚舉器 $E$ 枚舉語言 $S$，構造一個圖靈機 $M$ 如下：
   
M = 對於輸入 $ω$

1. 運行 $E$，依次生成字符串 $s_1, s_2, ...$；
2. 若遇到某個 $s_i = ω$ 則進入接受狀態並停機。

注意當 $ω ∉ S$ 時，$M$ 可能永不停機，但 $M$ 所接受的語言集合恰好是 $S$，所以 $M$ 識別了 $S$ 。

枚舉機轉圖靈機：
假設我們有圖靈機 $M$ 識別語言 $S$，構造一個枚舉器 $E$ 如下：

E = 忽略輸入

1. 對 $i = 1, 2, 3, ...$ 重複下列步驟；
2. 設 $Σ^* = {s_1, s_2, ...}$，分別將 $s_1, s_2, ... ,s_i$ 作為 $M$ 的輸入，模擬 $M$ 執行 $i$ 步；
3. 若某個 $s_j$, $1 ≤ j ≤ i$，在 $i$ 步內可被 $M$ 接受，則將其輸出。

顯然，這樣構造的枚舉器 $E$ 最終輸出的語言恰好就是 $S$ 。注意 $S$ 中的字符串並沒有在 $E$ 中按字典序輸出，而且同一個串可能會被 $E$ 輸出多次，但根據枚舉器的定義， 這些都是允許的。

References

交大陳穎平教授正規語言講義

wiki
http://zh.wikipedia.org/wiki/非确定型图灵机
http://zh.wikipedia.org/wiki/多带图灵机
http://zh.wikipedia.org/wiki/递归可枚举语言