Linear Algebra - Ch4 線性映射 Linear Transformation

這篇文章的初版是在考研究所時完成，而因為線代在應用數學中佔著非常核心的位置，在研究中反覆使用，因此我這次對線代的核心觀念，linear transformation、eigenvalue 等重要議題做了第二次更新，希望能助於大家學習。2015.11.6. note.

一、線性映射 (Linear Transformation)

1. 線性映射定義

• 一般版：$T(au + bv) = aT(u) + bT(v)$
• 矩陣版：如果 $T$ 是線性映射，則存在唯一矩陣 $A$ 使 $T(x) = Ax$

可使用必要條件 $T(0) = 0$ 做初步判斷是否為線性映射  (下面這張kernel的映射圖觀念很重要!) 。根據可以推敲出 $T$ 的標準矩陣求法：

舉例來說，

$T(x_1,x_2) = ( x_1+2x_2 , x_1-x_2 , 2x_2 )$

$A = [T(e_1),T(e_2)] = [1,  1,  0]^T[2,  -1,  2]^T$

Theorem : 一組 $basis = (v_1, v_2, … ,v_n)$ 對任意 $w_1, w_2, … ,w_n$ 存在唯一線性映射使 $T(v_1) = w_1$。也就是說，當一個線性映射對某一組基底決定，整個線性映射便唯一決定。

舉例來說， 

2. 常見的線性算子

保線性轉換的操作

• 微分
• 轉置

二維空間上常見的線性算子

• rotation：[cos sin]^T [-sin cos]^T
• reflection
• projection
• dilation, contraction
• translation (轉換到齊次座標, homogeneous coordinate)

二、Order Basis and Coordinate Vector

1. 座標向量定義 

2. 同構(isomorphic)

任何 n 維 vector space 皆和 $F_nx1$ 同構

1. linear transformation
2. one-to-one
3. onto

3. Transition matrix , change of coordinate matrix

三、Matrix Representation of T

1. 矩陣表示法 (matrix representation of T relative to b and r)

例題：

換底公式：

四、Kernel and Image

1. kernel, image, nullity and rank  

線性代數最重要的觀念就在下圖了，務必想透。

 

2. Sylvester 第一定理（維度定理）

一般版：T ∈ L(V, V’), dim(V) <$ unlimited, then 

$dim(V) = dim(ker(T)) + dim(Im(T)) = nullity(T) + rank(T)$

矩陣版：

$n = dim(R(A)) + dim(N(A)) = nullity(A) + rank(A)$

五、線性映射的一些性質

1. 線性轉換的維度 (dimension)

• 若T為one-to-one，dim(V) ≤ dim(V')  
• 若T為onto，dim(V) ≥ dim(V')
• 若T為one-to-one且onto，dim(V) = dim(V')    
• 若dim(V) = dim(V')，則  T為one-to-one <=> T為onto

2. 矩陣為一對一及映成的特性

• A為 one-to-one <=> N(A) = {0}  <=>  Ax=0 只有零解 <=> A為行獨立   
• A為 onto <=> R(A) = F^^mx1 <=> A行生成

3. S具某性質，則T(S)也具某性質

• 保相依
• 保獨立 <=> T為one-to-one
• 保生成 <=> T為onto

六、Rank

1. rank的定義

假設 $A$ 屬於 $F^(m*n)$，$rr(A) = cr(A)$ 的值定義為 $A$ 的rank，記作 $rank(A)$

四大空間的基底 (重要)：

• dim(R(A)) = dim(CS(A)) = r
• dim(R(A^T)) = dim(RS(A)) = r
• dim(N(A)) = dim(ker(A)) = n - r
• dim(N(A^T)) = dim(ker(A)) = m - r

2. rank大小的相關定理

• CS(AB) 包含於CS(A)、RS(AB) 包含於RS(B)
• rank(AB) <= min{rank(A), rank(B)}
• CS(A+B) 包含於 CS(A) + CS(B) [和空間] 
• rank(A+B) <= rank(A) + rank(B)

3. rank與線性方程組的相關定理

假設A屬於F^mxn，b屬於F^mx1則

• Ax = b 有解 iff rank( [A | b] ) = rank(A)
• Ax = b 至少一解 iff rank(A) = m
• Ax = b 至多一解 iff rank(A) = n

舉例

• A : 3x5, rank(A) = 3, 則Ax = b為無限多解
• A : 4x3, rank(A) = 3, 則Ax = b為至多一解
• A : 3x4, rank(A) = 2, 根據b不同，在一些情況下Ax = b無解，另一些情況下Ax = b無限多解

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網友提問：關於線性映射的操作

首先可以看到，上面總共有四個「基底」，用白話文說就是「以某些向量當基準來觀察這個世界」XD

一個是E當底的世界，一個是F當底的世界。

一個是二維標準基底的世界，一個是三維標準基底的世界。

所以...

References

黃子嘉線性代數講義

linear algebra and its applications